Question

已知0＜a＜1，f（x）=log_ax+

1

logax

．
（1）寫出f（x）的定義域；
（2）判斷并證明f（x）在[

1

a

，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得可得log_ax≠0，由此求得函數(shù)的定義域．
（2）令t=log_ax，可得t是減函數(shù)，且t≤-1．利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)h（t）=t+

1

t

在（-∞，-1]上是增函數(shù)，可得f（x）在[

1

a

，+∞）上是減函數(shù)．

解答： 解：（1）由0＜a＜1，f（x）=log_ax+

1

logax

，可得log_ax≠0，
故有x＞0，且 x≠1，
故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0，且 x≠1}．
（2）令t=g（x）=log_ax，由0＜a＜1、x∈[

1

a

，+∞），
可得g（x）是減函數(shù)，且g（x）≤-1，且f（x）=h（t）=t+

1

t

．
∵h(yuǎn)′（t）=1-

1

t2

≥0，故函數(shù)h（t）在（-∞，-1]上是增函數(shù)，
∴f（x）=f[g（x）]在[

1

a

，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．