Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=l（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P為雙曲線上的一點，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三邊長成等差數(shù)列．又一橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，短軸的一個端點到其右焦點的距離為

3

，雙曲線與該橢圓離心率之積為

5 6

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l與橢圓交于A，B兩點，坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設P為雙曲線的右支上的點，運用雙曲線的定義和等差數(shù)列的性質，以及勾股定理，得到a，c的關系，再由離心率公式得到雙曲線的離心率為5，進而得到橢圓的離心率，由條件可得a=

3

，再由離心率公式，即可得到橢圓的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．分當AB⊥x軸時與AB與x軸不垂直時求出|AB|．當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m，由坐標原點O到直線l的距離為

3

2

可得

|m|

1+k2

=

3

2

，化為m²=

3

4

（k²+1），同時將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，利用弦長公式即可得出|AB|，再由基本不等式求得|AB|的最大值，運用三角形的面積公式，即可得到面積的最大值．

解答： 解：（1）設P為雙曲線的右支上的點，
|PF₁|-|PF₂|=2a，①
又PF₂，PF₁，F(xiàn)₁F₂成等差數(shù)列，則有|PF₂|+|F₁F₂|=2|PF₁|，
即2|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|=2c，②
由①②解得，|PF₁|=2（c-a），|PF₂|=2（c-2a），
由于∠F₁PF₂=90°，則|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
則4（c-a）²+4（c-2a）²=4c²，
化簡得，c²-6ac+5a²=0，
解得，c=5a，即有雙曲線的離心率為5，
則由雙曲線與該橢圓離心率之積為

5 6

3

，
即有橢圓的離心率為

6

3

，
設橢圓的方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0），
由于橢圓短軸的一個端點到其右焦點的距離為

3

，即有m=

3

，
則

m2-n2

=

2

，解得，n=1，
則有橢圓方程為

x2

3

+y²=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當AB⊥x軸時，∵坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，
∴可取A（

3

2

，y₁），代入橢圓得

3 4

3

+y₁²=1，解得y₁=±

3

2

．
∴|AB|=

3

；
②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m，
由坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，可得

|m|

1+k2

=

3

2

，化為m²=

3

4

（k²+1）．
把y=kx+m代入橢圓方程，消去y得到（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x₁x₂=

3m2-3

1+3k2

．
∴|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
=（1+k²）[（-

6km

1+3k2

）²-4•

3m2-3

1+3k2

]
=

12(1+k2)(1+3k2-m2)

(1+3k2)2

=

3(1+k2)(9k2+1)

(1+3k2)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

．
當k≠0時，|AB|²=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2×3+6

=4，
當且僅當k²=

1

3

時取等號，此時|AB|=2．
當k=0時，|AB|=

3

．
綜上可知：|AB|_max=2．△OAB的面積最大值為=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

點評：本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質，熟練掌握直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、弦長問題、三角形的面積、點到直線的距離公式、分類討論的思想方法的方法等是解題的關鍵．