Question

15．已知a是大于0的實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線平行與X軸，求a值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設g（x）=f（x）+$\frac{m}{x-1}$是[3，+∞）上的增函數(shù)，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求導公式和法則求出f′（x），由導數(shù)的幾何意義和條件列出方程，求出a的值；
（Ⅱ）由f′（x）=0求出臨界點，根據(jù)已知的區(qū)間和臨界點進行分類討論，由導數(shù)的符號判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再分別求出函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅲ）由題意和求導公式求出g′（x），利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，將條件轉化為：g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，設t=（x-1）²代入g′（x）化簡后，分離出參數(shù)m后，利用二次函數(shù)的性質求出實數(shù)m的范圍以及m的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=x²（x-a）+x=x³-ax²，
所以f′（x）=3x²-2ax，…（1分）
因為在點（2，f（2））處的切線平行與X軸，
所以f′（2）=3×4-2a×2=0，解得a=3；    …（3分）
（Ⅱ）令f′（x）=3x²-2ax=0，解得x₁=0，${x}_{2}=\frac{2a}{3}$，…（5分）
①當$\frac{2a}{3}≥2$時，即a≥3時，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，則f_min=f（2）=8-4a …（6分）
②當$0＜\frac{2a}{3}＜2$，即0＜a＜3時，
f（x）在[0，$\frac{2a}{3}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{2a}{3}$，2]上單調(diào)遞增，從而f_min=f（$\frac{2a}{3}$）=$-\frac{4}{27}{a}^{3}$ …（7分）
綜上所述，當0＜a＜3時，f_min=f（$\frac{2a}{3}$）=$-\frac{4}{27}{a}^{3}$，
當a≥3時，f_min=f（2）=8-4a；              …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得a=3，所以g（x）=x³-3x²+$\frac{m}{x-1}$，
則$g′（x）=3{x}^{2}-6x-\frac{m}{（x-1）^{2}}$…（9分）
∵g（x）是[3，+∞）上的增函數(shù)，
∴g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，
即$3{x}^{2}-6x-\frac{m}{{（x-1）}^{2}}≥0$在[3，+∞）上恒成立． …（10分）
設t=（x-1）²，t∈[4，+∞），
∴$3t-3-\frac{m}{t}≥0$在[4，+∞）上恒成立．
∴$m≤3{t}^{2}-3t=3（t-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{4}$在[4，+∞）上恒成立   …（12分）
令$h（t）=3{（t-\frac{1}{2}）}^{2}-\frac{3}{4}$，t∈[4，+∞），
∴h（t）_min=h（4）=36，則m≤36，
∴實數(shù)m的最大值是36． …（14分）

點評 本題考查求導公式和求導法則，導數(shù)的幾何意義，以及導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關系，考查分離參數(shù)法，分類討論思想和化簡計算能力，屬于中檔題．