Question

7．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC₁上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是①②④⑤（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①當(dāng)0＜CQ＜$\frac{1}{2}$時(shí)，S為四邊形；
②當(dāng)CQ=$\frac{1}{2}$時(shí)，S為等腰梯形；
③當(dāng)$\frac{3}{4}$＜CQ＜1時(shí)，S為六邊形；
④當(dāng)CQ=$\frac{3}{4}$時(shí)，S與C₁D₁的交點(diǎn)R滿足C₁R=$\frac{1}{3}$；
⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意作出滿足條件的圖形，由線面位置關(guān)系找出截面可判斷選項(xiàng)的正誤．

解答 解：如圖當(dāng)CQ=$\frac{1}{2}$時(shí)，即Q為CC₁中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故可得截面APQD₁為等腰梯形，故②正確；
由上圖當(dāng)點(diǎn)Q向C移動(dòng)時(shí)，滿足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$，只需在DD₁上取點(diǎn)M滿足AM∥PQ，即可得截面為四邊形APQM，故①正確；
當(dāng)CQ=$\frac{3}{4}$時(shí)，如圖，
延長DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，連接AN交A₁D₁于S，連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=$\frac{1}{3}$，故④正確；
由上可知當(dāng)$\frac{3}{4}$＜CQ＜1時(shí)，只需點(diǎn)Q上移即可，此時(shí)的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，顯然為五邊形，故錯(cuò)誤；
⑤當(dāng)CQ=1時(shí)，Q與C₁重合，取A₁D₁的中點(diǎn)F，連接AF，可證PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面為APC₁F為菱形，故其面積為$\frac{1}{2}$AC₁•PF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，故正確．
故答案為：①②④⑤

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及正方體的截面問題，屬中檔題．