Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且當x＞0時，f（x）＜0，又f（1）=-

2

3

．
（1）求證f（x）為奇函數(shù)；
（2）求證：f（x）為R上的減函數(shù)；
（3）解關(guān)于x的不等式：

1

2

f(2bx)-f(x)＞

1

2

f(bx)-f(b)．（其中b＞2）

Answer 1

分析：（1）由題意，直接對f（x）+f（y）=f（x+y）中的變量進行賦值，先令x=y=0求得f（0），再令y=-x，即可得到f（x）+f（-x）=0，即可判斷出結(jié)論
（2）利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性即可
（3）先利用恒等式對所給的不等式進行化簡，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可解出不等式的解集

解答：解：（1）由題意，在f（x）+f（y）=f（x+y）中令x=y=0可得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0
再令y=-x，得到f（x）+f（-x）=f（0）=0
所以函數(shù)是奇函數(shù)
（2）令x₁＜x₂，則x₂=x₁+x₂-x₁，x₂-x₁＞0
所以f（x₁）+f（x₂-x₁）=f（x₂），
又x＞0時，f（x）＜0
所以f（x₂-x₁）＜0
所以f（x₁）＞f（x₂），即f（x）為R上的減函數(shù)
 （3）不等式

1

2

f(2bx)-f(x)＞

1

2

f(bx)-f(b)?f(bx)+f(b)＞f(

1

2

bx)+f(x)?f(bx+b)＞f(

1

2

bx+x)
又f（x）為R上的減函數(shù)
所以bx+b＜

1

2

bx+x，整理得（b-2）x＜-2b，又b＞2，即b-2＞0
解得x＜

-2b

b-2

．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的證明及綜合利用此兩性質(zhì)解抽象不等式，考查了推理判斷能力及運算能力，綜合性較強