Question

已知函數(shù)f（x）=mx-

m-1

x

-lnx，g（x）=

1

sinθ•x

+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），求解下列各題：
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的極小值；
（2）求θ的取值范圍；
（3）若h（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得極小值；
（2）由題意，g′（x）=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即

sinθ•x-1

sinθ•x2

≥0．即可得出結(jié)論．
（3）由題意得（f（x）-g（x））′=

mx2-2x+m

x2

．故f（x）-g（x）在[1，+∞]為單調(diào)函數(shù)，
等價(jià)于mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意，m=1時(shí)，f（x）=x-lnx，x＞0，∴f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
所以，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故f（x）_極小值=f（1）=1． 
（2）由題意，g′（x）=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即

sinθ•x-1

sinθ•x2

≥0．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只須sinθ•1-1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．結(jié)合θ∈（0，π），得θ=

π

2

．
（3）由（2），得f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx．
∴（f（x）-g（x））′=

mx2-2x+m

x2

．
∵f（x）-g（x）在[1，+∞]為單調(diào)函數(shù)，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．
mx²-2x+m≥0等價(jià)于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，∴m≥1．
mx²-2x+m≤0等價(jià)于m（1+x²）≤2x，即m≤

2x

1+x2

在[1，+∞）恒成立，
而

2x

1+x2

∈（0，1]，∴m≤0．
綜上，m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題，考查恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)，屬難題．