Question

已知函數f（x）=mx-

m-1

x

-lnx，g（x）=

1

sinθ•x

+lnx在[1，+∞）上為增函數，且θ∈（0，π），求解下列各題：
（1）當m=1時，求函數y=f（x）的極小值；
（2）求θ的取值范圍；
（3）若h（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數判斷函數的單調性求得極小值；
（2）由題意，g′（x）=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即

sinθ•x-1

sinθ•x2

≥0．即可得出結論．
（3）由題意得（f（x）-g（x））′=

mx2-2x+m

x2

．故f（x）-g（x）在[1，+∞]為單調函數，
等價于mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立，即可得出結論．

解答： 解：（1）由題意，m=1時，f（x）=x-lnx，x＞0，∴f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
∴當0＜x＜1時，f′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0，
所以，f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，
故f（x）_極小值=f（1）=1． 
（2）由題意，g′（x）=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即

sinθ•x-1

sinθ•x2

≥0．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只須sinθ•1-1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．結合θ∈（0，π），得θ=

π

2

．
（3）由（2），得f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx．
∴（f（x）-g（x））′=

mx2-2x+m

x2

．
∵f（x）-g（x）在[1，+∞]為單調函數，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．
mx²-2x+m≥0等價于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，∴m≥1．
mx²-2x+m≤0等價于m（1+x²）≤2x，即m≤

2x

1+x2

在[1，+∞）恒成立，
而

2x

1+x2

∈（0，1]，∴m≤0．
綜上，m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性、極值、最值等問題，考查恒成立問題的等價轉化思想及學生的計算能力，綜合性強，屬難題．