Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

a-2

2

x²-2ax-3．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-2，0]上的最小值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)f′（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．可以判斷f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)．在（-1，2）上為減函數(shù)．在（2，+∝）上為增函數(shù)，f（-2）=-

8

3

-2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
（Ⅱ）f′（x）=x²+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．-a＞2時(shí)，即a＜-2，不等式①的解為x＜2或x＞-a，當(dāng)-a＜2時(shí)，即a＞-2，不等式①的解為x＜-a或x＞2，當(dāng)-a=2時(shí)，即a=-2，不等式①的解為x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2處連續(xù)所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是實(shí)數(shù)集R．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義可以判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：
（Ⅰ）a=1時(shí)，函數(shù)解析式為f(x)= 

1

3

x3-

1

2

x2- 2x-3其定義域?yàn)镽．
f′（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）
令f′（x）＞0，得（x+1）（x-2）＞0，解得x＜-1或x＞2．
同樣，令f′（x）＜0，得（x+1）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．
所以f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)．在（-1，2）上為減函數(shù)．在（2，+∝）上為增函數(shù)．
故f（x）在[-2，0]上的最小值是f（-2）與f（0）中的較小者．
f（-2）=-

8

3

-2+4-3，f（0）=-3，有f（-2）＜f（0）．
所以f（x）在[-2，0]上的最小值為f（-2）=-

11

3

．
（Ⅱ）f′（x）=x²+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
令f′（x）＞0，即（x+a）（x-2）＞0．                         ①
當(dāng)-a＞2時(shí)，即a＜-2，不等式①的解為x＜2或x＞-a，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，2）和（-a，+∝）；
當(dāng)-a＜2時(shí)，即a＞-2，不等式①的解為x＜-a或x＞2，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∝，-a）和（2，+∞）；
當(dāng)-a=2時(shí)，即a=-2，不等式①的解為x∈R，且x≠2，由f（x）在x=2處連續(xù)所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是實(shí)數(shù)集R．
綜上：
（1）當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，2）和（-a，+∞）；
（2）當(dāng)a＞-2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-a）和（2，+∞）；
（3）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）在實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，不等式的證明等，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．