(2007•深圳二模)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項a1=256,前n項和為Sn,且Sn,Sn+2,Sn+1成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求{an}的公比q;
(Ⅱ)用Πn表示{an}的前n項之積,即Πn=a1•a2…an,試比較Π7、Π8、Π9的大。
分析:(Ⅰ)解法一:由Sn+1=Sn+an+1,Sn+2=Sn+an+1+an+2,可得2Sn+2=Sn+Sn+1,即可得an+2=-
1
2
an+1
,從而可求等比數(shù)列的公比q
解法二:由已知2Sn+2=Sn+Sn+1,
分類討論:q=1時及q≠1時,分別利用等比數(shù)列的求和公式代入已知可求q
(Ⅱ)由(1)可知a1=28, q=-
1
2
,則通過計算可知Π7<0,,Π89>0.從而可比較
解答:解:(Ⅰ)解法一:∵Sn+1=Sn+an+1,Sn+2=Sn+an+1+an+2,
由已知2Sn+2=Sn+Sn+1,…(4分)
得:2(Sn+an+1+an+2)=Sn+(Sn+an+1),∴an+2=-
1
2
an+1
,∴{an}的公比q=-
1
2
.…(8分)
解法二:由已知2Sn+2=Sn+Sn+1,…(2分)
當(dāng)q=1時,Sn+2=(n+2)a1,Sn+1=(n+1)a1,Sn=na1,
則2(n+2)a1=(n+1)a1+na1,⇒a1=0與{an}為等比數(shù)列矛盾;  …(4分)
當(dāng)q≠1時,則2•
a1(1-qn+2)
1-q
=
a1(1-qn)
1-q
+
a1(1-qn+1)
1-q
,
化簡得:2qn+2=qn+qn+1,∵qn≠0,∴2q2=1+q,∴q=-
1
2
…(8分)
(Ⅱ)∵a1=28, q=-
1
2
,則有:a2=-27,a3=26,a4=-25,a5=24,a6=-23,a7=22,a8=-2,a9=1,…∴Π7<0…(11分)Π89>0…(13分)∴Π7<Π89…(14分)
點評:本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式轉(zhuǎn)化數(shù)列的項之間的關(guān)系及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用(求和公式中要注意公比q=1時的情況是解題中容易漏掉的).
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長方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線BD1與棱AB、BB1、BC所成的角分別為α、β、γ,則cos2α+cos2β+cos2γ=1,或是sin2α+sin2β+sin2γ=2.
長方體ABCD-A1B1C1D1中,對角線BD1與棱AB、BB1、BC所成的角分別為α、β、γ,則cos2α+cos2β+cos2γ=1,或是sin2α+sin2β+sin2γ=2.

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