Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的范圍；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，設(shè)，對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點，，使得是以（為坐標(biāo)原點）為直角頂點的直角三角形，而且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）;（3）詳見解析.

【解析】

試題（1）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到，若不是單調(diào)函數(shù)，則不恒成立；（2）含參數(shù)不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來處理；二是分離參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般后者比較簡單，常用到兩個結(jié)論：（1），（2）.（3）與函數(shù)有關(guān)的探索問題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第二步：從假設(shè)出發(fā)，利用題中關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點.

試題解析：解：（1）由

得，因在區(qū)間上不上單調(diào)函數(shù)

所以在上最大值大于0，最小值小于0

，

由，得

，且等號不能同時取，，即

恒成立，即

令，求導(dǎo)得

當(dāng)時，，從而

在上是增函數(shù)，

由條件，

假設(shè)曲線上存在兩點滿足題意，則只能在軸兩側(cè)

不妨設(shè)，則，且

是以為直角頂點的直角三角形，

是否存在等價于方程在且是否有解

①當(dāng)時，方程為，化簡，此方程無解；

②當(dāng)時，方程為，即

設(shè)，則

顯然，當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)

的值域為，即，當(dāng)時，方程總有解

對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點，使得是以（為坐標(biāo)原點）為直角頂點的直角三角形，而且此三角形斜邊中點在軸上