(1)證明:∵直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,∠ACB=90°,
∴B
1C
1⊥平面A
1ACC
1,
∵A
1C?平面A
1ACC
1,
∴A
1C⊥B
1C
1,
連接AC
1,∵AC
1⊥A
1C,∴A
1C⊥平面AB
1C
1.
所以AB
1⊥A
1C
(2)證明:連接AC
1交A
1C于O點,連接DO,則O為AC
1的中點,
∵D為AB中點,∴DO∥BC
1,
又∵DO?平面A
1CD,BC
1?平面A
1CD,
∴BC
1∥平面A
1CD.
(3)解:以CA為x軸,CB為y軸,CC
1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,∠ACB=90°,AA
1=AC=BC=2,D為AB中點.
∴C(0,0,0),C
1(0,0,2),A
1(2,0,2),A(2,0,0),B(0,2,0),
∴D(1,1,0),
=(2,0,2),
=(1,1,0),
,
設(shè)平面A
1CD的法向量
=(x,y,z),則
,
,
∴
,解得
=(1,-1,-1),
∴C
1到平面A
1CD的距離d=
=
=
.
分析:(1)直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,∠ACB=90°,所以B
1C
1⊥平面A
1ACC
1,A
1C⊥B
1C
1,由此能夠證明AB
1⊥A
1C
(2)連接AC
1交A
1C于O點,連接DO,則O為AC
1的中點,由D為AB中點,知DO∥BC
1,由此能夠證明BC
1∥平面A
1CD.
(3)以CA為x軸,CB為y軸,CC
1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能夠求出C
1到平面A
1CD的距離.
點評:本題考查異面直線垂直的證明,考查直線與平面平行的證明,考查點到平面的距離的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).