Question

求函數(shù)f（x）=x³+

3a

x

的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知得f′(x)=3x2-

3a

x2

，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：∵f（x）=x³+

3a

x

，
∴f′(x)=3x2-

3a

x2

，
∴當a≤0時，f′（x）=3x²-

3a

x2

≥0，
函數(shù)f（x）=x³+

3a

x

的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）．
當a＞0時，由f′（x）＞0，得x＞

4	a

，或x＜-

4	a

，
由f′（x）＜0，得-

4	a

＜x＜

4	a

．
∴f（x）的增區(qū)間為（

4	a

，+∞），（-∞，-

4	a

），減區(qū)間為（-

4	a

，

4	a

）．
綜上所述，當a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞），無減區(qū)間；
當a＞0時，f（x）的增區(qū)間為（

4	a

，+∞），（-∞，-

4	a

），減區(qū)間為（-

4	a

，

4	a

）．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．