Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx+

1

2

（ω＞0，x∈R）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角函數(shù)的恒等變換，把已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx+

1

2

變成正弦型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式．然后根據(jù)函數(shù)的最小正周期為π，求得f（x）的解析式，然后根據(jù)自變量x的定義域來確定函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：
（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

+

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+1=sin（2ωx+

π

6

）+1
∴由T=

2π

2ω

=π，得ω=1．
（Ⅱ）
由（Ⅰ）知f(x)=sin(2x+

π

6

)+1．
∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時(shí)，f（x）_min=sin

7π

6

+1=

1

2

當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，f（x）_max=sin

π

2

+1=2
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的取值范圍[

1

2

，2]，．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)（1）三角函數(shù)的恒等變換（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的定義域求值域