Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求證：DM∥平面PCB；
（3）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AD的中點G，連接PG、GB、BD，根據(jù)等腰可知PG⊥AD，BG⊥AD，又PG∩BG=G，滿足線面垂直的判定定理，則AD⊥平面PGB，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AD⊥PB；
（2）欲證DM∥平面PCB，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證DM與平面PCB內(nèi)一直線平行，取PB的中點F，連接MF，CF．可證得四邊形CDMF是平行四邊形，則DM∥CF，CF?平面PCB，DM?平面PCB，滿足定理所需條件；
（3）延長AD與BC交點為K，連接PK，過G作GH⊥PK于一定H，連接BH，則BH⊥PK，從而∠BHG為平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角，在三角形BHG求出此角即可．
解答：證明：（1）取AD的中點G，連接PG、GB、BD．
∵PA=PD，
∴PG⊥AD（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，BG⊥AD，又PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．（4分）

（2）取PB的中點F，連接MF，CF．
∵M、F分別為PA、PB的中點，
∴MF∥AB，且．
∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，
∴MF∥CD且MF=CD．（6分）
∴四邊形CDMF是平行四邊形．
∴DM∥CF．
∵CF?平面PCB，DM?平面PCB
∴DM∥平面PCB．（8分）
（3）延長AD與BC交點為K，連接PK．
過G作GH⊥PK于一定H，
連接BH，則BH⊥PK．∴∠BHG為平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角．0分
設(shè)CD=a，則AD=2a，KD=2a，
∴．
又因為PK•GH=PG•GK，GK=3a，
∴
∴
∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小為．（12分）
點評：本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)，以及線面平行的判定和二面角的度量，涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強，屬于中檔題．