Question

在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，∠， ，平面⊥平面.

（1）求證：⊥平面；

（2）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；

（3）在棱上是否存在點使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）因為 ，所以.因為 平面平面，平面平面，平面，所以 平面；（Ⅱ） ；（Ⅲ）解：在棱上存在點使得∥平面，此時.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：因為 ，

所以 .                        ………………………………………1分

因為 平面平面，平面平面，

平面，

所以 平面.                  ………………………………………3分

（Ⅱ）解：取的中點，連接.

因為，

所以 .

因為 平面平面，平面平面，平面，

所以 平面.                ………………………………………4分

如圖，

以為原點，所在的直線為軸，在平面內(nèi)過垂直于的直

線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè).由

直角梯形中可得，，

.

所以 ，.

設(shè)平面的法向量.

因為

所以

即

令，則.

所以 .                 ………………………………………7分

取平面的一個法向量n.

所以 .

所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小為.

………………………………………9分

（Ⅲ）解：在棱上存在點使得∥平面，此時. 理由如下：…………10分

取的中點，連接，，.

則 ∥，.

因為 ，

所以 .

因為 ∥，

所以 四邊形是平行四邊形.

所以 ∥.

因為 ，

所以 平面∥平面.           ………………………………………13分

因為 平面，

所以 ∥平面.               ………………………………………14分

考點：本題考查了空間中線面關(guān)系的判斷及角的求法

點評：本題主要考查線面關(guān)系的判定及二面角的求法，考查空間想象能力與邏輯思維能力，對于立體幾何問題的證明問題，要求我們熟練應(yīng)用課本上的定理、性質(zhì)、結(jié)論等，要求會用幾何法和向量法兩種方法求解