Question

19．若方程$2log_2^x-log_2^{（{x-1}）}$=m+1有兩個解，則實數(shù)m的取值范圍是（1，+∞）．

Answer 1

分析 據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0求出定義域，利用對數(shù)的運算法則轉(zhuǎn)化成x²-2^m+1x+2^m+1=0．方程在x＞1時有兩個解，解方程即可．

解答 解：由題得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$得x＞1．
又∵2log₂x-log₂（x-1）=log₂（$\frac{{x}^{2}}{x-1}$）=m+1，
∴可得$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=2^m+1，即x²-2^m+1x+2^m+1=0．方程在x＞1時有兩個解，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{m}＞1}\\{1-{2}^{m+1}+{2}^{m+1}＞0}\\{△={2}^{2m+2}-4•{2}^{m}+1＞0}\end{array}\right.$，解得m＞1
所以實數(shù)m的取值范圍是：（1，+∞）
故答案為：（1，+∞）．

點評 本題考查對數(shù)的真數(shù)大于0、對數(shù)的運算法則、二次方程的解法，解題過程中要注意對數(shù)的定義域，屬于中檔題．