Question

9．雙曲線C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0））的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，雙曲線C上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F₂的距離是實(shí)軸兩端點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的等差中項(xiàng)，若△PF₁F₂為銳角三角形，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• B． （1，1+$\sqrt{3}$）
• C． （$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，1+$\sqrt{3}$）
• D． （$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，2）∪（2，1+$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得PF₂=$\frac{1}{2}$（c+a+c-a）=c，確定P為右支上一點(diǎn)，求得三角形PF₁F₂中的三邊，運(yùn)用余弦定理可得（2a+c）²+c²＞4c²，4c²+c²＞（2a+c）²，由離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：由雙曲線C上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F₂的距離是實(shí)軸兩端點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的等差中項(xiàng)，
即有PF₂=$\frac{1}{2}$（c+a+c-a）=c＜c+a，c＞c-a，
可得P為右支上一點(diǎn)，
在三角形PF₁F₂中，F(xiàn)₁F₂=2c，PF₁=2a+c，PF₂=c，
由余弦定理，可得（2a+c）²+c²＞4c²，
化簡(jiǎn)可得c²-2ac-2a²＜0，即為e²-2e-2＜0，
解得1＜e＜1+$\sqrt{3}$；
又4c²+c²＞（2a+c）²，
化簡(jiǎn)可得e2-e-1＞0，解得e＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
綜上可得e的范圍是（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，1+$\sqrt{3}$）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)考查余弦定理的運(yùn)用，不等式的解法，屬于中檔題．