Question

已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足：對于任意實(shí)數(shù)x，都有f（1+x）=f（1-x），且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=3^x+1+2x．
（1）求證：對于任意實(shí)數(shù)x，都有f（x+2）=f（x）；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于偶函數(shù)f（x）滿足 f（1+x）=f（1-x），故有f（x+2）=f[1-（x+1）]=f（-x）=f（x），命題得證．
（2）當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，2-x∈[0，1]，再根據(jù)條件求得f（x）=f（2-x） 的解析式．同理求得當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，f（x）的解析式，綜上可得結(jié)論．

解答：解：（1）由于偶函數(shù)f（x）滿足 f（1+x）=f（1-x），
故有f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1-（x+1）]=f（-x）=f（x），
∴f（x+2）=f（x）成立．
（2）當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，2-x∈[0，1]，再根據(jù)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=3^x+1+2x，
偶函數(shù)函數(shù)f（x）的周期為2，
可得 f（x）=f（-x）=f（2-x）=3^2-x+1+2（2-x）=3^3-x+4-2x，即 f（x）=3^3-x+4-2x．
當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，x-2∈[0，1]，再根據(jù)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=3^x+1+2x，
可得f（x）=f（x-2）=3^x-2+1+2（x-2）=3^x-1+2x-4．
綜上可得，f（x）=

33-x+4-2x ，x∈[1 2) 3x-1+2x-4 ， x∈[2 ，3)

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的周期性、奇偶性，求函數(shù)的解析式，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)而思想，屬于中檔題．