Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，E是DD₁的中點．
（1）求證：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求

AA1

AB

的值；
（3）在（2）的條件下，求二面角D-AE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，直線DA，DC，DD₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設AA₁=a，AB=b，然后表示出向量

AC

，

DB1

，計算它們的數量可得結論；
（2）根據B₁D⊥AE，可得

DB1

•

AE

=-b2+

1

2

a2=0，求出a和b的等量關系，從而求出

AA1

AB

的值；
（3）

DC

是平面DAE的一個法向量，然后求出平面AEC的一個法向量n，最后根據公式cosθ=

DC •n

| DC ||n|

求出二面角D-AE-C的大�。�

解答：解：因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，底面ABCD是正方形，所以DA、DC、DD₁兩兩垂直．
如圖，以D為原點，直線DA，DC，DD₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．
設AA₁=a，AB=b．
則 D（0，0，0），A（b，0，0），B（b，b，0），C（0，b，0），B₁（b，b，a）．
（1）證明：因為

AC

=(-b，b，0)，

DB1

=(b，b，a)，
所以

AC

•

DB1

=0，
所以AC⊥B₁D．…（3分）
（2）解：因為B₁D⊥平面ACE，
所以B₁D⊥AE．
因為E(0，0，

a

2

)，所以

AE

=(-b，0，

a

2

)，
因為 

DB1

•

AE

=-b2+

1

2

a2=0，
所以 

AA1

AB

=

a

b

=

2

．…（6分）
（3）解：

DC

是平面DAE的一個法向量，

DC

=(0，b，0)．
設n=（x，y，z）是平面AEC的一個法向量，則n•

AC

=0，n•

AE

=0，
即 

-bx+by=0 -bx+ a 2 z=-bx+ 2 2 bz=0

取x=1，則y=1，z=

2

，即n=(1，1，

2

)．…（8分）
設二面角D-AE-C的大小是θ，則cosθ=

DC •n

| DC ||n|

=

1

2

，
所以二面角D-AE-C的大小是60°．…（10分）．

點評：本題主要考查了線線位置關系以及二面角的度量，利用空間向量解決立體幾何問題也是常用的方法，同時考查計算能力，屬于中檔題．