Question

17．過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（　�。�

• A． -1
• B． -2
• C． -3
• D． -4

Answer 1

分析 由拋物線y²=4x與過其焦點(diǎn)（1，0）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)坐標(biāo)，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達(dá)定理可以求得答案．

解答 解：由題意知，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴直線AB的方程為y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁+x₂=1，y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]'
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+k（x₁-1）•k（x₂-1）=-3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是聯(lián)立拋物線方程與過其焦點(diǎn)的直線方程，利用韋達(dá)定理予以解決，屬于基礎(chǔ)題．