Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足條件，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=a_np^a_n（p＞0），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）將n=1代入已知遞推式，易得a₂，從而求出d，故a_n可求；
（2）求出b_n，分p=1和p≠1兩種情況討論，然后利用錯(cuò)位相減法求和．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由得：=3，所以a₂=2，即d=a₂-a₁=1，
所以a_n=n．
（Ⅱ）由b_n=a_np^a_n，得b_n=npⁿ．所以T_n=p+2p²+3p³+…+（n-1）p^n-1+npⁿ，①
當(dāng)p=1時(shí)，T_n=；
當(dāng)p≠1時(shí)，
pT_n=p²+2p³+3p⁴+…+（n-1）pⁿ+npⁿ⁺¹，②
①-②得（1-p）T_n=p+p²+p³+…+p^n-1+pⁿ-npⁿ⁺¹=，
即T_n=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系的觀察能力和利用錯(cuò)位相減法求和的能力，難度中等，注意分類討論思想的應(yīng)用．