Question

11．設(shè)函數(shù)g（x）=x²-2x+1+mlnx．（m∈R）
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求過點(diǎn)P（0，-1）且與曲線y=g（x）-（x-1）²相切的切線方程．
（2）求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若函數(shù)y=g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)a，b，且a＜b，記[x]表示不大于x的最大整數(shù)，試比較sin$\frac{[g（a）]}{[g（b）]}$與cos（[g（a）[g（b）]的大�。�

Answer 1

分析 （1）先求出曲線y=lnx，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，lnx₀），這樣曲線的切線的斜率為$\frac{1}{{x}_{0}}$，所以能表示出過點(diǎn)P（0，-1）的切線方程，再根據(jù)切線過切點(diǎn)即可求出x₀，從而求得切線方程；
（2）求g′（x），解g′（x）≥0，通過討論m即可求得該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）令g′（x）=0，便得2x²-2x+m=0，該方程的根便是a，b，且b=$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，（$\frac{1}{2}$＜b＜1），并通過求g′（b），判斷g′（x）的符號(hào)，從而判斷該函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，1）上的單調(diào)性，求得g（b）的取值范圍，根據(jù)取值范圍便能求得[g（b）]；用同樣的辦法求出[g（a）]，求出sin$\frac{[g（a）]}{[g（b）]}$與cos[g（a）][g（b）]，即可比較二者的大�。�

解答 解：（1）曲線方程為y=lnx，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，lnx₀），
由y′=$\frac{1}{x}$，得切線的斜率k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，則切線方程為y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀）；
∵切線過點(diǎn)P（0，-1），∴-1-lnx₀=-1，即x₀=1；
∴所求切線方程為x-y-1=0．
（2）函數(shù)y=g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），g′（x）=2x-2+$\frac{m}{x}$．
令g′（x）＞0，并結(jié)合定義域得2x²-2x+m＞0，
對(duì)應(yīng)一元二次方程的判別式△=4（1-2m）．
①當(dāng)△≤0，即m≥$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）≥0，則函數(shù)g（x）的增區(qū)間為 （0，+∞）；
②當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{1-\sqrt{1-2m}}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，+∞）；
③當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)g（x）的增區(qū)間為（$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，+∞）．
（3）g′（x）=2x-2+$\frac{m}{x}$，令g′（x）=0得2x²-2x+m=0，
由題意知方程有兩個(gè)不相等的正根a，b（a＜b），則$\left\{\begin{array}{l}{△=4（1-2m）＞0}\\{\frac{m}{2}＞0}\end{array}\right.$
解得0＜m＜$\frac{1}{2}$，解方程得b=$\frac{1+\sqrt{1-2m}}{2}$，則$\frac{1}{2}$＜b＜1．
又由2b²-2b+m=0得m=-2b²+2b，
所以g（b）=b²-2b+1+mlnb=b²-2b+1+（-2b²+2b）lnb；b∈（$\frac{1}{2}$，1）．
g′（b）=2b-2+（-4b+2）lnb+2-2b=-4（b-$\frac{1}{2}$）lnb，
當(dāng)b∈（$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，g′（b）＞0，即函數(shù)g（b）是（$\frac{1}{2}$，1）上的增函數(shù)；
所以$\frac{1-2ln2}{4}$＜g（b）＜0，故g（b）的取值范圍是（$\frac{1-2ln2}{4}$，0）．
則[g（b）]=-1．
同理可求0＜a＜$\frac{1}{2}$，g（a）=a²-2a+1+（-2a²+2a）lna；
a∈（0，$\frac{1}{2}$），g′（a）=-4（a-$\frac{1}{2}$）lna＜0，即函數(shù)g（a）是（0，$\frac{1}{2}$）上的減函數(shù)；
∴$\frac{1-2ln2}{4}$＜g（a）＜1，故g（a）的取值范圍是（$\frac{1-2ln2}{4}$，1），
則[g（a）]=-1或[g（a）]=0；
當(dāng)[g（a）]=-1時(shí)，sin$\frac{[g（a）]}{[g（b）]}$＞cos（[g（a）][g（b）]）；
當(dāng)[g（a）]=0時(shí)，sin$\frac{[g（a）]}{[g（b）]}$＜cos（[g（a）][g（b）]）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在函數(shù)曲線上一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)和過該點(diǎn)的切線的斜率的關(guān)系，函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)的極值點(diǎn)和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．對(duì)于第三問，能正確求出a，b的取值范圍是求解本問的關(guān)鍵．