Question

1．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是橢圓x²+5y²=5的左焦點(diǎn)．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過點(diǎn)M（-1，1）作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，使得點(diǎn)M是AB弦的中點(diǎn)，求直線的方程及AB弦的長．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的左焦點(diǎn)，即為拋物線的焦點(diǎn)，得到拋物線方程．
（2）設(shè)拋物線的弦所在方程，聯(lián)立拋物線方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，列出方程，求出k，注意檢驗(yàn)判別式，再由弦長公式即可得到．

解答 解：（1）橢圓x²+5y²=5即為$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$的左焦點(diǎn)為（-2，0），
拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是橢圓x²+5y²=5的左焦點(diǎn)．
p=4，
則拋物線方程為y²=-8x，
（2）設(shè)拋物線的弦所在的直線為y-1=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立拋物線的方程，消去y，得，k²x²+[2k（1+k）+8]x+（1+k）²=0，
則△=[2k（1+k）+8]²-4k²（1+k）²＞0，
x₁+x₂=-$\frac{2k（1+k）+8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{（{1+k）}^{2}}{{k}^{2}}$
由M（-1，1）為弦的中點(diǎn)，可得-$\frac{2k（1+k）+8}{{k}^{2}}$=-2，
解得，k=-4，
則△＞0成立，則弦AB所在的直線方程為：4x+y+3=0；
則x₁+x₂=-2，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，
則弦長為$\sqrt{1+{k}^{2}}．|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\sqrt{1+（-4）^{2}}\sqrt{（-2）^{2}-4×\frac{1}{4}}$=$\sqrt{51}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，拋物線的方程的求法，考查聯(lián)立直線方程好額拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．