【題目】已知橢圓的離心率為,過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點,當l的斜率為1時,坐標原點O到l的距離為2。
(1)求橢圓C的方程;
(2)橢圓C上是否存在一點P,使得當l繞F轉到某一位置時,有成立?若存在,求點P的坐標與直線l的方程;若不存在,說明理由。
【答案】(1); (2),直線,或,直線.
【解析】
(1) 設,可得直線l的方程為,運用點到直線距離公式,可求出c,再由離心率公式即可求出a,b從而可得橢圓方程;
(2) 設,,, 設代入橢圓方程消元,再由韋達定理和向量的坐標運算,求出點P的坐標,代入橢圓方程,即可求出結果.
(1)設,可得直線l的方程為,
即為,由坐標原點O到l的距離為2,
即有,解得,
由,可得,b=2,
即有橢圓的方程為;
(2)設,,,
①當直線的斜率存在,設其方程為:
由,消去y得.
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
將P點坐標代入橢圓得,
∴,∴(舍去),即為.
當時,,直線,
當時,,直線.
②當直線的斜率不存在時,直線的方程為:,
依題意,四邊形OAPB為菱形,此時點P不在橢圓上,
即當直線的斜率不存在時,不適合題意;
綜上所述,存在P,且,直線,
或,直線.
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【題目】如圖是一個幾何體的平面展開圖,其中四邊形ABCD為正方形,△PDC, △PBC, △PAB, △PDA為全等的等邊三角形,E、F分別為PA、PD的中點,在此幾何體中,下列結論中錯誤的為 ( )
A. 平面BCD⊥平面PAD B. 直線BE與直線AF是異面直線
C. 直線BE與直線CF共面 D. 面PAD與面PBC的交線與BC平行
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【題目】某中學為弘揚優(yōu)良傳統(tǒng),展示80年來的辦學成果,特舉辦“建校80周年教育成果展示月”活動。現(xiàn)在需要招募活動開幕式的志愿者,在眾多候選人中選取100名志愿者,為了在志愿者中選拔出節(jié)目主持人,現(xiàn)按身高分組,得到的頻率分布表如圖所示.
(1)請補充頻率分布表中空白位置相應數(shù)據,再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖;
(2)為選拔出主持人,決定在第3、4、5組中用分層抽樣抽取6人上臺,求第3、4、5組每組各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,主持人會在上臺的6人中隨機抽取2人表演詩歌朗誦,求第3組至少有一人被抽取的概率?
參考公式:
.
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【題目】已知橢圓: 的一個焦點與拋物線的焦點重合,且過點.過點的直線交橢圓于, 兩點, 為橢圓的左頂點.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)求面積的最大值,并求此時直線的方程.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓 的離心率為,兩條準線之間的距離為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知橢圓的左頂點為,點在圓上,直線與橢圓相交于另一點,且的面積是的面積的倍,求直線的方程.
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【題目】若數(shù)列同時滿足:①對于任意的正整數(shù), 恒成立;②對于給定的正整數(shù), 對于任意的正整數(shù)恒成立,則稱數(shù)列是“數(shù)列”.
(1)已知判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”,并說明理由;
(2)已知數(shù)列是“數(shù)列”,且存在整數(shù),使得, , , 成等差數(shù)列,證明: 是等差數(shù)列.
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【題目】潮州統(tǒng)計局就某地居民的月收入調查了人,并根據所得數(shù)據畫了樣本的頻率分
布直方圖(每個分組包括左端點,不包括右端點,如第一組表示收入在)。
(1)求居民月收入在的頻率;
(2)根據頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據的中位數(shù);
(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系,必須按月收入再從這人中分層抽樣方法抽出人作進一步分析,則月收入在的這段應抽多少人?
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,以為極點, 軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)寫出直線與曲線的直角坐標方程:
(Ⅱ)過點平行于直線的直線與曲線交于、兩點,若,求點軌跡的直角坐標方程.
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