Question

某市環(huán)保部門(mén)對(duì)市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境污染指數(shù)與時(shí)刻（時(shí)）的關(guān)系為，，其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且，用每天的最大值作為當(dāng)天的污染指數(shù)，記作.

(1)令，，求的取值范圍；

(2)按規(guī)定，每天的污染指數(shù)不得超過(guò)2，問(wèn)目前市中心的污染指數(shù)是否超標(biāo)？

 

Answer 1

（1）的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，污染指數(shù)不超標(biāo)；當(dāng)時(shí)，污染指數(shù)超標(biāo).

【解析】

試題分析：（1）從的表達(dá)式可知，可以考慮利用基本不等式求的取值范圍，首先討論當(dāng)當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)：，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，而顯然，因此的取值范圍是；（2）根據(jù)條件結(jié)合（1）分析可知，可將污染指數(shù)轉(zhuǎn)化為與有關(guān)的函數(shù)，利用（1）中求得的的取值范圍，可知，顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最大值只可能在或時(shí)取到，通過(guò)比較可知，從而若市中心的污染指數(shù)未超標(biāo)，則等價(jià)于，解關(guān)于的不等式組，從而可以得到相應(yīng)結(jié)論：當(dāng)時(shí)，污染指數(shù)不超標(biāo)；當(dāng)時(shí)，污染指數(shù)超標(biāo).

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)：， 1分

當(dāng)時(shí)：， 4分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)， 5分 而顯然，

綜上所述，的取值范圍是； 6分

（2）記，，則， 8分

顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最大值只可能在或時(shí)取到，

而，∵，∴，

∴，∴， 11分

由得， 13分

故當(dāng)時(shí)，污染指數(shù)不超標(biāo)；當(dāng)時(shí)，污染指數(shù)超標(biāo). 14分

考點(diǎn)：1.基本不等式求函數(shù)值域；2.分段函數(shù)的綜合運(yùn)用.