Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=a+
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
∴f（2）=
∴a+=，2a-=
∴a=1，b=3
∴f（x）的解析式為f（x）=x-；
（Ⅱ）設(shè)（x₀，x₀-）為曲線f（x）上任一點(diǎn)，則切線的斜率為1+，
∴切線方程為y-（x₀-）=（1+）（x-x₀），
令x=0，可得y=-
由切線方程與直線y=x聯(lián)立，求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=2x₀
∴曲線f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值×|2x₀|×|-|=6
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0，建立方程，可求得a=1，b=3，從而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出切線方程，從而可計(jì)算切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．