Question

如圖，折線段AP→PQ→QC是長方形休閑區(qū)域ABCD內(nèi)規(guī)劃的一條小路，已知AB=1百米，
AD=a（a≥1）百米，點P在以A為圓心，AB為半徑的圓弧上，PQ⊥BC，Q為垂足．
（1）試問點P在圓弧何處，能使該小路的路程最短？最短路程為多少？
（2）當(dāng)a=1時，過點P作PM⊥CD，垂足為M．若將矩形PQCM修建為觀賞水池，試問點P在圓弧何處，能使水池的面積最大？

Answer 1

分析：（1）設(shè)∠PAB=α，則 α∈[0，

π

2

]，PQ=1-cosα，QC=a-sinα，該小路的路程 AP+PQ+QC=1+1-cosα+a-sinα=a+2-

2

sin（α+

π

4

 ），可求得AP+PQ+QC 有最小值．
（2）當(dāng)a=1時，矩形矩形PQCM的面積S=PQ•QC=（1-cosα ）（1-sinα）=1-（sinα+cosα）+sinαcosα，設(shè) sinα+cosα=t=

2

sin（

π

4

+α）∈[1，

2

]，利用S=1-t+

t2-1

2

=

1

2

（t-1）² 在[1，

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，可求得S的最大值．

解答：解：（1）設(shè)∠PAB=α，則 α∈[0，

π

2

]，PQ=1-cosα，QC=a-sinα，
∴該小路的路程 AP+PQ+QC=1+1-cosα+a-sinα=a+2-

2

sin（α+

π

4

 ），
故當(dāng)α=

π

4

時，AP+PQ+QC 有最小值為 a+2-

2

 （百米）．
即點P在圓弧AB的中點時，AP+PQ+QC 有最小值a+2-

2

 （百米）．
（2）當(dāng)a=1時，矩形矩形PQCM的面積S=PQ•QC=（1-cosα ）（1-sinα）=
1-（sinα+cosα）+sinαcosα，設(shè) sinα+cosα=t=

2

sin（

π

4

+α）∈[1，

2

]，
S=1-t+

t2-1

2

=

1

2

（t-1）² 在[1，

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，∴t=

2

時，即α=

π

4

 時，
S最大為

3

2

-

2

，即點P在圓弧AB的中點時，能使水池的面積最大．

點評：本題考查兩角和差的三角函數(shù)，以及利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出式子的最值．