Question

如圖，折線段AP→PQ→QC是長(zhǎng)方形休閑區(qū)域ABCD內(nèi)規(guī)劃的一條小路，已知AB=1百米，
AD=a（a≥1）百米，點(diǎn)P在以A為圓心，AB為半徑的圓弧上，PQ⊥BC，Q為垂足．
（1）試問(wèn)點(diǎn)P在圓弧何處，能使該小路的路程最短？最短路程為多少？
（2）當(dāng)a=1時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥CD，垂足為M．若將矩形PQCM修建為觀賞水池，試問(wèn)點(diǎn)P在圓弧何處，能使水池的面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)∠PAB=α，則 α∈[0，]，PQ=1-cosα，QC=a-sinα，該小路的路程 AP+PQ+QC=1+1-cosα+a-sinα=a+2-sin（α+ ），可求得AP+PQ+QC 有最小值．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，矩形矩形PQCM的面積S=PQ•QC=（1-cosα ）（1-sinα）=1-（sinα+cosα）+sinαcosα，設(shè) sinα+cosα=t=sin（+α）∈[1，]，利用S=1-t+=（t-1）² 在[1，]上是單調(diào)增函數(shù)，可求得S的最大值．
解答：解：（1）設(shè)∠PAB=α，則 α∈[0，]，PQ=1-cosα，QC=a-sinα，
∴該小路的路程 AP+PQ+QC=1+1-cosα+a-sinα=a+2-sin（α+ ），
故當(dāng)α=時(shí)，AP+PQ+QC 有最小值為 a+2- （百米）．
即點(diǎn)P在圓弧AB的中點(diǎn)時(shí)，AP+PQ+QC 有最小值a+2- （百米）．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，矩形矩形PQCM的面積S=PQ•QC=（1-cosα ）（1-sinα）=
1-（sinα+cosα）+sinαcosα，設(shè) sinα+cosα=t=sin（+α）∈[1，]，
S=1-t+=（t-1）² 在[1，]上是單調(diào)增函數(shù)，∴t=時(shí)，即α= 時(shí)，
S最大為 -，即點(diǎn)P在圓弧AB的中點(diǎn)時(shí)，能使水池的面積最大．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和差的三角函數(shù)，以及利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出式子的最值．