Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若函數(shù)，求函數(shù)的極值；

（2）討論函數(shù)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù)；

（3）設(shè)直線為函數(shù)的圖象上一點處的切線，證明：在區(qū)間上存在唯一的，使得直線與曲線相切.

Answer 1

【答案】（1）極大值；無極小值（2）當時，無極值點，當時，有兩個極值點；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)，得到求導(dǎo)，利用極值點的定義求解.

（2）得到（且），求導(dǎo)，令，分，，兩類討論求解.

（3）設(shè)在的圖象上的切點為，切線的方程為，設(shè)直線與曲線相切于點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值和函數(shù)值相等得到，再根據(jù)（1）中時的結(jié)論求解.

（1）因為函數(shù)，

所以，

所以，

令，解得，

當時，，當時，，

所以當時，極大值,無極小值

（2）（且），

，

令，，

①當，即當時，，此時，在和單調(diào)遞增，無極值點；

②當時，即當或時，

函數(shù)有兩個零點，，，

（ⅰ）當時，

因為，所以，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在和上單調(diào)減，在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)有兩個極值點；

（ⅱ）當時，

因為，

所以，此時，在和單調(diào)遞增，無極值點.

綜上所述，當時，函數(shù)無極值點，當時，函數(shù)有兩個極值點.

（3）因為，

所以函數(shù)的圖象上一點處的切線的方程可表示為

，

設(shè)直線與曲線相切于點，

因為，

所以，

消去并整理，得

，

由（1）可知，當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，

又，，

所以函數(shù)在上有唯一的零點，又因為在單調(diào)遞增，

所以方程在上存在唯一的根，

故在區(qū)間上存在唯一的，使得直線與曲線相切.