Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣ax2﹣3x．
（1）若a=4時，求f（x）在x∈[1，4]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[2，+∞]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=4時，f（x）=x3﹣4x2﹣3x，

∴f′（x）=3x2﹣8x﹣3，

∴函數(shù)在[1，3]上單調(diào)遞減，[3，4]上單調(diào)遞增，

∴f（x）在x∈[1，4]上的最大值為f（1）=﹣6，最小值為f（3）=﹣18

（2）解：在x∈[2，+∞]上，f′（x）=3x2﹣2ax﹣3≥0，

可得a≤ 在x∈[2，+∞]上恒成立，

∴只要求 的最小值即可，而y= ．

y′= 恒大于零，

∴y在R上為增函數(shù)，∴ymin= ，

∴a≤

【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)在[1，3]上單調(diào)遞減，[3，4]上單調(diào)遞增，即可求f（x）在x∈[1，4]上的最大值和最小值；（2）在x∈[2，+∞]上，f′（x）=3x2﹣2ax﹣3≥0可得a≤ 在x∈[2，+∞]上恒成立，只要求 的最小值即可得到a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．