Question

【題目】已知函數(shù) f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．
（1）討論 f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x，

∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a），

①當(dāng)a=0時，f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）在R上單調(diào)遞增，

②當(dāng)a＞0時，ex﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，

當(dāng)x＜lna時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x＞lna時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

③當(dāng)a＜0時，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣ ），

當(dāng)x＜ln（﹣ ）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x＞ln（﹣ ）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)a=0時，f（x）在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)a＞0時，f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，

當(dāng)a＜0時，f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））上單調(diào)遞減，在（ln（﹣ ），+∞）上單調(diào)遞增

（2）解：①當(dāng)a=0時，f（x）=e2x＞0恒成立，

②當(dāng)a＞0時，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，

∴l(xiāng)na≤0，

∴0＜a≤1，

③當(dāng)a＜0時，由（1）可得f（x）min=f（ln（﹣ ））= ﹣a2ln（﹣ ）≥0，

∴l(xiāng)n（﹣ ）≤ ，

∴﹣2 ≤a＜0，

綜上所述a的取值范圍為[﹣2 ，1]

【解析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分別求出函數(shù)的最小值，即可求出a的范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．