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如圖,已知拋物線的焦點為F，過F的直線交拋物線于M、N兩點，其準線與x軸交于K點.

（1）求證：KF平分∠MKN；
（2）O為坐標原點，直線MO、NO分別交準線于點P、Q，求的最小值.

（1）見解析；（2）8.

解析試題分析：（1）只需證，設出M，N兩點坐標和直線MN方程，再把直線方程與拋物線方程聯立，由韋達定理可得證；（2）由（1）設出的M，N兩點坐標分別先求出P、Q兩點坐標，還是把設出的直線MN方程與拋物線方程聯立，由韋達定理把表示出來，再根據直線MN的傾斜角的范圍求的最小值.
試題解析：（1）拋物線焦點坐標為，準線方程為.       2分
設直線MN的方程為。設M、N的坐標分別為
由,   ∴.  4分
設KM和KN的斜率分別為，顯然只需證即可. ∵，
∴ ，        6分
（2）設M、N的坐標分別為，由M，O，P三點共線可求出P點的坐標為，由N，O，Q三點共線可求出Q點坐標為，    7分
設直線MN的方程為。由
∴則
     9分
又直線MN的傾斜角為，則 
∴ .10分
同理可得.  13分
(時取到等號) .       15分
考點：1、拋物線的方程及性質；2、直線與曲線相交的性質.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知是橢圓的右焦點；圓與軸交于兩點，其中是橢圓的左焦點.

（1）求橢圓的離心率；
（2）設圓與軸的正半軸的交點為，點是點關于軸的對稱點，試判斷直線與圓的位置關系；
（3）設直線與圓交于另一點，若的面積為，求橢圓的標準方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（13分）如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長2.5km，隧道的兩側是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓。

（1）若最大拱高h為6 m，則隧道設計的拱寬是多少？
（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程 量最小，則應如何設計拱高h和拱寬？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高。）
（3）為了使隧道內部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的倍，試確定M、N的位置以及的值，使總造價最少。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圓錐曲線的兩個焦點坐標是，且離心率為；
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設曲線表示曲線的軸左邊部分，若直線與曲線相交于兩點，求的取值范圍；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，如果，且曲線上存在點，使，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且L與的兩個焦點A和B滿足（其中O為原點），求的取值范圍。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，其左焦點到點的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點、，則內切圓的圓面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點,離心率,右焦點為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設橢圓的上頂點為,在橢圓上是否存在點,使得向量與共線?若存在,求直線的方程;若不存在,簡要說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點為，，且經過點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過的直線與橢圓交于、兩點，問在橢圓上是否存在一點，使四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

曲線在矩陣的變換作用下得到曲線．
（Ⅰ）求矩陣；
（Ⅱ）求矩陣的特征值及對應的一個特征向量．

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