Question

已知f（x）=|x-1|-|2x+3|．
（1）f（x）≤a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用分區(qū)間討論法去掉絕對(duì)值符號(hào)，研究函數(shù)在每個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最大值，即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）先分離出f（x），再求出

|2m-1|+|1-m|

|m|

的最小值1，然后解不等式≤1即可．

解答：解：（1）當(dāng)x＜-

3

2

時(shí)，f（x）=1-x+2x+3=4+x，f（x）≤f（-

3

2

）=

5

2

當(dāng)-

3

2

≤x≤1時(shí)，f（x）=1-x-（2x+3）=-3x-2，f（1）=-5≤f（x）≤f（-

3

2

）=

5

2

當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=-（1-x）-（2x+3）=-x-4，f（x）＜f（1）=-5
函數(shù)f（x）的最大值為

5

2

，要使不等式恒成立，只需a≥

5

2

，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[

5

2

，+∞）
不等式恒成立，即|x-1|-|2x+3|≤

|2m-1|+|1-m|

|m|

恒成立．
因?yàn)?span id="wyay4ku" class="MathJye">

|2m-1|+|1-m|

|m|

≥

|2m-1+1-m|

|m|

=1，
所以只需|x-1|-|2x+3|≤1
①當(dāng)x＜-

3

2

時(shí)，原不等式可以化為1-x+2x+3≤1，解得x≤-3
②當(dāng)-

3

2

≤x≤1時(shí)，原不等式可以化為1-x-（2x+3）≤1，解得-1≤x≤1，
③當(dāng)x＞1時(shí)，原不等式可以化為-x-4≤1，解得x＞1
綜上所述，x的取值范圍是（-∞，-3]∪[-1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，不等式恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化計(jì)算、分類討論的思想方法．