Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AA1=AC=4，AB=2，P，Q分別為棱AA1 ， AC的中點．
（1）在平面ABC內過點A作AM∥平面PQB1交BC于點M，并寫出作圖步驟，但不要求證明；
（2）若側面ACC1A1⊥側面ABB1A1 ， 求直線A1C1與平面PQB1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BC中點M，連接AM，則AM∥平面PQB1；

（2）解：作QO⊥平面ABB1A1，與A1A延長線交于O，則AO=1，QO= ，

OB1= = ，∴QB1= ，

∵B1P=2，PQ=2 ，

∴cos∠QPB1= =﹣ ，

∴sin∠QPB1= ，

∴ = = ，

作PN∥C1A1，則直線A1C1與平面PQB1所成角=直線PN與平面PQB1所成角，

∵ =2 ，∴ = =2，

設N到平面PQB1的距離為h，則 ，∴h= ，

∴直線A1C1與平面PQB1所成角的正弦值= = ．

【解析】（1）取BC中點M，連接AM，則AM∥平面PQB1；（2）作PN∥C1A1，則直線A1C1與平面PQB1所成角=直線PN與平面PQB1所成角，求出N到平面PQB1的距離，即可求直線A1C1與平面PQB1所成角的正弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．