Question

已知函數f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）設a≤-2，證明：對任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的定義域，然后對函數f（x）進行求導，根據導函數大于0時原函數單調遞增、導函數小于0時原函數單調遞減對a分3種情況進行討論．
（2）先根據a的范圍對函數f（x）的單調性進行判斷，然后根據單調性去絕對值，將問題轉化為證明函數g（x）=f（x）+4x的單調性問題．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

．
當a≥0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調增加；
當a≤-1時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調減少；
當-1＜a＜0時，令f′（x）=0，解得x=

- a+1 2a

．當x∈（0，

- a+1 2a

）時，f′（x）＞0；
x∈（

- a+1 2a

，+∞）時，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，

- a+1 2a

）單調增加，在（

- a+1 2a

，+∞）單調減少．
（Ⅱ）不妨假設x₁≤x₂．由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）單調遞減．
所以|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等價于f（x₁）-f（x₂）≥4x₂-4x₁，
即f（x₂）+4x₂≤f（x₁）+4x₁．
令g（x）=f（x）+4x，則g′(x)=

a+1

x

+2ax+4=

2ax2+4x+a+1

x

．
于是g′（x）≤

-4x2+4x-1

x

=

-(2x-1)2

x

≤0．
從而g（x）在（0，+∞）單調減少，故g（x₁）≥g（x₂），
即f（x₁）+4x₁≥f（x₂）+4x₂，故對任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．