Question

在平面直角坐標(biāo)系中，若

a

=(x+4，y)，

b

=(x-4，y)，且|

a

|+|

b

|=10．
（Ⅰ）求動點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)N（2，1），是否存在一條直線l與軌跡C相交于A、B兩點(diǎn)，且以點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把

a

=(x+4，y)

b

=(x-4，y)代入|

a

|+|

b

|=10，化簡，即可得到動點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程．
（Ⅱ）先假設(shè)存在以點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)的直線l，設(shè)A，B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A，B點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求斜率，若能求出，則存在，寫出直線方程，若求不出，則不存在．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

=(x+4，y)，

b

=(x-4，y)，且|

a

|+|

b

|=10
∴

(x+4)2+y2

+

(x-4)2+y2

=10，即動點(diǎn)M（x，y）到兩定點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）的距離距離之和為常數(shù)10                 
∵10＞8，∴動點(diǎn)M（x，y）的軌跡C是以F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）為焦點(diǎn)，2a=10的橢圓∴

x2

25

+

y2

9

=1
（Ⅱ）假設(shè)存在以點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)的直線l，
顯然直線l不可能與x軸垂直，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），則∵點(diǎn)A、B在橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1上，
∴

x12

25

+

y12

9

=1，

x22

25

+

y22

9

=1
∴

(x1+x2)(x1-x2)

25

+

(y1+y2)(y1-y2)

9

=0
又∵點(diǎn)N是線段AB的中點(diǎn)，N（2，1），∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2
∴

4(x1-x2)

25

+

2(y1-y2)

9

=0，
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

18

25

∴直線l：y-1=-

18

25

(x-2)，即18x+25y-61=0
故存在滿足以點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)的直線l，
其方程為18x+25y-61=0

點(diǎn)評：本題是平面向量與圓錐曲線相綜合的問題，主要考查平面向量基本運(yùn)算、橢圓求法以及中點(diǎn)弦問題，考查解析幾何“設(shè)而不求”的技巧．解析幾何板塊在歷屆高考中必有一個解答題，而且在以往高考試卷中多以壓軸題形態(tài)出現(xiàn)；在近年的一些省市高考卷中，解析幾何類題目是以中檔題形態(tài)出現(xiàn)，在備戰(zhàn)高考時應(yīng)留意解析幾何這一新動態(tài)．