Question

已知拋物線y=x²上的兩點A、B滿足

AP

=λ

PB

，λ＞0，其中點P坐標為（0，1），

OM

=

OA

+

OB

，O為坐標原點．
（1）求四邊形OAMB的面積的最小值；
（2）求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由

AP

=λ

PB

，知A、P、B三點在同一條直線上，設該直線方程為y=kx+1，A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）．由

y=kx+1 y=x2

得x²-kx-1=0，由此能夠導出四邊形OAMB是矩形，從而能夠求出四邊形OAMB的面積的最小值．
（2）設M（x，y），則

x=x1+x2 y= x 2 1 + x 2 2

，消去x₁和x₂得x²=y-2，由此能求出點M的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）由

AP

=λ

PB

知A、P、B三點在同一條直線上，
設該直線方程為y=kx+1，
A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）．
由

y=kx+1 y=x2

，得x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+x₁²x₂²=-1+（-1）²=0，
∴

OA

⊥

OB

．
又OAMB是平行四邊形，
∴四邊形OAMB是矩形，
∴S=|

OA

|•|

OB

|
=

x 2 1 + x 4 1

•

x 2 2 + x 4 2

=-x₁x₂

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

1+ x 2 1 + x 2 2 +(x1x2)2

=

2+(x1+x2)2-2x1x2

=

4+k2

．
∴當k=0時，S取得最小值是2．
（Ⅱ）設M（x，y），
∴

x=x1+x2 y= x 2 1 + x 2 2

，
消去x₁和x₂，
得x²=y-2，
∴點M的軌跡是y=x²+2．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．