Question

【題目】已知正整數(shù)數(shù)列滿足對任意的正整數(shù)均有，證明：存在無窮多個(gè)正整數(shù)對（），使得．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

用反證法．

假設(shè)所有滿足的正整數(shù)對（）只有有限多個(gè)，

即存在正整數(shù)使得所有滿足要求的都小于．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對正整數(shù)，

存在有限集和由2013個(gè)不小于的連續(xù)正整數(shù)組成的集合，

使得中至少有個(gè)元素可以被中的某些元素整除．

當(dāng)時(shí)，集合，符合要求．

當(dāng)時(shí)，假定集合、滿足要求．

對，令，

其中，中包含了2013個(gè)不小于的連續(xù)的正整數(shù)．

事實(shí)上，它們也不小于中的最大元素．

又由于中至少有個(gè)元素能被中的某些元素整除，

因此，對，也能被中的某些元素整除．

由，且中的元素不小于，知存在某些，使得．

由中的元素不小于中的最大元素，知．

從而，由的定義，知中沒有元素能整除．

故中至少有個(gè)元素能被中的某些元素整除（中至少有個(gè)元素能被中的某些元素整除，能被其自身整除）．

因此，令即可完成歸納證明．

令．于是，有2013元集中至少有2014個(gè)數(shù)能被中的某些元素整除，矛盾．

故對任意的正整數(shù)，均存在及，使得．

因此，存在無窮多個(gè)正整數(shù)對（），使得．