【題目】已知正整數(shù)數(shù)列滿足對(duì)任意的正整數(shù)均有,證明:存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)對(duì)(),使得.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
用反證法.
假設(shè)所有滿足的正整數(shù)對(duì)()只有有限多個(gè),
即存在正整數(shù)使得所有滿足要求的都小于.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)正整數(shù),
存在有限集和由2013個(gè)不小于的連續(xù)正整數(shù)組成的集合,
使得中至少有個(gè)元素可以被中的某些元素整除.
當(dāng)時(shí),集合,符合要求.
當(dāng)時(shí),假定集合、滿足要求.
對(duì),令,
其中,中包含了2013個(gè)不小于的連續(xù)的正整數(shù).
事實(shí)上,它們也不小于中的最大元素.
又由于中至少有個(gè)元素能被中的某些元素整除,
因此,對(duì),也能被中的某些元素整除.
由,且中的元素不小于,知存在某些,使得.
由中的元素不小于中的最大元素,知.
從而,由的定義,知中沒(méi)有元素能整除.
故中至少有個(gè)元素能被中的某些元素整除(中至少有個(gè)元素能被中的某些元素整除,能被其自身整除).
因此,令即可完成歸納證明.
令.于是,有2013元集中至少有2014個(gè)數(shù)能被中的某些元素整除,矛盾.
故對(duì)任意的正整數(shù),均存在及,使得.
因此,存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)對(duì)(),使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三棱柱中,與均為等邊三角形,,O為BC的中點(diǎn).
(1)證明:平面平面ABC;
(2)在棱上確定一點(diǎn)M,使得二面角的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)、為正整數(shù),表示的所有正約數(shù)的次方之和.證明:對(duì)于任意,存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù),使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)實(shí)力的不斷提升,居民收入也在不斷增加.某家庭2019年全年的收入與2015年全年的收入相比增加了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番.同時(shí)該家庭的消費(fèi)結(jié)構(gòu)隨之也發(fā)生了變化,現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該家庭這兩年不同品類(lèi)的消費(fèi)額占全年總收入的比例,得到了如下折線圖:
則下列結(jié)論中正確的是( )
A.該家庭2019年食品的消費(fèi)額是2015年食品的消費(fèi)額的一半
B.該家庭2019年休閑旅游的消費(fèi)額是2015年休閑旅游的消費(fèi)額的五倍
C.該家庭2019年教育醫(yī)療的消費(fèi)額與2015年教育醫(yī)療的消費(fèi)額相當(dāng)
D.該家庭2019年生活用品的消費(fèi)額是2015年生活用品的消費(fèi)額的兩倍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知()的方格表中的每個(gè)元素都是絕對(duì)值不大于1的實(shí)數(shù),且方格表中所有元素之和等于0,試求最小的非負(fù)實(shí)數(shù),使得每個(gè)這樣的方格表中必有一行或一列,其元素之和的絕對(duì)值不大于.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,軸上方的點(diǎn)在拋物線上,且,直線與拋物線交于,兩點(diǎn)(點(diǎn),與不重合),設(shè)直線,的斜率分別為,.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:直線恒過(guò)定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】國(guó)際奧委會(huì)將于2017年9月15日在秘魯利馬召開(kāi)130次會(huì)議決定2024年第33屆奧運(yùn)會(huì)舉辦地,目前德國(guó)漢堡,美國(guó)波士頓等申辦城市因市民擔(dān)心賽事費(fèi)用超支而相繼退出,某機(jī)構(gòu)為調(diào)查我國(guó)公民對(duì)申辦奧運(yùn)會(huì)的態(tài)度,選了某小區(qū)的100位居民調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
支持 | 不支持 | 合計(jì) | |
年齡不大于50歲 | 80 | ||
年齡大于50歲 | 10 | ||
合計(jì) | 70 | 100 |
(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù),把表格數(shù)據(jù)填寫(xiě)完整;
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為不同年齡與支持申辦奧運(yùn)有關(guān)?
(3)已知在被調(diào)查的年齡大于50歲的支持者中有6名女性,其中2名是女教師.現(xiàn)從這6名女性中隨機(jī)抽取2名,求恰有1名女教師的概率.
附:,,
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>[-1,5],部分對(duì)應(yīng)值如下表,的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,下列關(guān)于的命題正確的是( )
0 | 4 | 5 | ||
1 | 2 | 2 | 1 |
A.函數(shù)的極大值點(diǎn)為0,4;
B.函數(shù)在[0,2]上是減函數(shù);
C.如果當(dāng)時(shí),的最大值是2,那么的最大值為4;
D.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,采取五場(chǎng)三勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)勝利時(shí),該隊(duì)獲勝,比賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī),甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為,客場(chǎng)取勝的概率為,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)不超過(guò)場(chǎng)即獲勝的概率是( )
A.B.C.D.
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