Question

已知四邊形ABCD是矩形，BC=kAB（k∈R），將△ABC沿著對(duì)角線(xiàn)AC翻折，得到△AB₁C，設(shè)頂點(diǎn)B₁在平面ABCD上的投影為O．
（1）若點(diǎn)O恰好落在邊AD上，
①求證：AB₁⊥平面B₁CD；
②若B₁O=1，AB＞1．當(dāng)BC取到最小值時(shí)，求k的值
（2）當(dāng)k=

3

時(shí)，若點(diǎn)O恰好落在△ACD的內(nèi)部（不包括邊界），求二面角B₁-AC-D的余弦值的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）①由面面垂直的判定定理得平面AB₁D⊥平面ACD，從而CD⊥AD，由線(xiàn)面垂直得AB₁⊥CD，由矩形性質(zhì)得AB₁⊥CB₁，由此能證明AB₁⊥平面B₁CD．
②作矩形ABMN，使得B₁在MN上，設(shè)AB=x，BC=y，求出y，利用基本不等式，即可求出當(dāng)BC取到最小值時(shí)，k的值；
（2）作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，當(dāng)點(diǎn)O恰好落在△ACD的內(nèi)部（不包括邊界），點(diǎn)O恰好在線(xiàn)段EF上，∠B₁EF為二面角B₁-AC-D的平面角，由此能求出二面角B₁-AC-D的余弦值的取值范圍．

解答： 解：（1）①證明：∵點(diǎn)B₁在平面ABCD上的射影為O，點(diǎn)O恰好落在邊AD上，
∴平面AB₁D⊥平面ACD，又CD⊥AD，
∴CD⊥平面AB₁D，∴AB₁⊥CD，
又∵AB₁⊥CB₁，∴AB₁⊥平面B₁CD．
②解：作矩形ABMN，使得B₁在MN上，設(shè)AB=x，BC=y，則NB₁=

x2-1

，
∵AB₁⊥B₁D，∴△ANB₁∽△B₁MD，
∴B₁D=

MD

B1N

•AB1=

x

x2-1

，
∴y=B₁C=

x2+ x2 x2-1

=

x2-1+ 1 x2-1 +2

≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時(shí)取等號(hào)，y有最小值，k=

2

；
（2）解：作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，
當(dāng)點(diǎn)O恰好落在△ACD的內(nèi)部（不包括邊界），點(diǎn)O恰好在線(xiàn)段EF上，
又∵B₁E⊥AC，EF⊥AC，
∴∠B₁EF為二面角B₁-AC-D的平面角
∴cos∠B₁EF=

EO

B1E

∈（0，

1

3

），
故二面角B₁-AC-D的余弦值的取值范圍為（0，

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，涉及到線(xiàn)面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理和判定理的應(yīng)用，是中檔題．