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【題目】已知為實常數，函數.

（1）若在是減函數，求實數的取值范圍；

（2）當時函數有兩個不同的零點，求證：且.（注：為自然對數的底數）；

（3）證明

【答案】（1）（2）見解析

【解析】分析：(1) 因，則，又在是減函數所以在時恒成立，則實數的取值范圍為 ；(2)先證明下當時，，由（1）知，則在內單調遞增，在內單調遞減，由，得.所以，；（3）由（1）知當時， ，當時，有，即，累加可得結果.

詳解：（1）因，則，又在是減函數所以在時恒成立，則實數的取值范圍為

（2）因當時函數有兩個不同的零點，則有，

則有.設 . .

當 時， ；當 時， ；

所以在 上是增函數，在 上是減函數. 最大值為 .

由于 ，且 ，所以 ，又，所以.

下面證明：當時， .設 ，

則 .在 上是增函數，

所以當時， .即當時，..

由得 .所以.

所以 ，即，，.

又 ，所以，.

所以 .而，則有.

由（1）知，則在內單調遞增，在內單調遞減，

由，得.所以， .

（3）由（1）知當時，在上是減函數，且

所以當時恒有，即

當時，有，即，

累加得：（）

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在直三棱柱中，，,分別是,的中點．

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面平面．

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【題目】如圖，在平面四邊形ABCD中，AD=1，CD=2，AC= ．

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【題目】某高級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數如下表：

高一年級

高二年級

高三年級

女生

373

x

y

男生

377

370

z

已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.19.

（1）求的值；

（2）現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應該在高三年級抽取多少名？

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【題目】函數的一段圖象過點，如圖所示．

（1）求函數的表達式；

（2）將函數的圖象向右平移個單位，得函數的圖象，求的最大值，并求出此時自變量的集合，并寫出該函數的增區(qū)間．

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【題目】從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.

（Ⅰ）設表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量的分布列和數學期望；

（Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.

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【題目】下列命題中，正確的命題的序號為__________．

①已知隨機變量服從二項分布，若，，則；

②將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差恒不變；

③設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則；

④某人在次射擊中，擊中目標的次數為，，則當時概率最大.

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【題目】2002年北京國際數學家大會會標，是以中國古代數學家趙爽的弦圖為基礎而設計的，弦圖用四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形如圖，若大、小正方形的面積分別為25和1，直角三角形中較大銳角為，則等于　　

A. B. C. D.

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