精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，直線與橢圓的另一個交點分別為.

（1）若點坐標為，且，求橢圓的方程；

（2）設，，求證：為定值.

【答案】（1）；（2）定值為，證明見解析.

【解析】

（1）根據題設條件可直接求出，再根據在橢圓上求出后可得橢圓的方程.

（2）設，，，先用諸點坐標表示、，再聯立直線方程和橢圓方程后利用韋達定理得到、與的關系式，最后化簡后可得定值.我們也可以利用橢圓的幾何性質來證明為定值.

（1），所以橢圓方程為.

（2）法一：坐標法

設，

當時，.

當時，，，

其中：，

從而.

由得，

同理，從而.

.

法二：焦半徑法

不妨設點在軸上方，設，

過作左準線的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，

由圓錐曲線的統一定義可得，

故，

整理得到，所以.

同理，，，，

所以，.

又，

，

所以

.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點、分別在軸、軸上運動，，點在線段上，且.

（1）求點的軌跡方程；

（2）動直線與交于不同的兩點，，且的面積為，其中為坐標原點，證明為定值.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“搜索指數”是網民通過搜索引擎，以每天搜索關鍵詞的次數為基礎所得到的統計指標.“搜索指數”越大，表示網民對該關鍵詞的搜索次數越多，對該關鍵詞相關的信息關注度也越高.下圖是2019年9月到2020年2月這半年中，某個關鍵詞的搜索指數變化的走勢圖.

根據該走勢圖，下列結論不正確的是（ ）.

A.這半年中，網民對該關鍵詞相關的信息關注度與時間具有比較明顯的線性相關性

B.2019年10月網民對該關鍵詞的搜索指數變化的走勢圖具有較好的對稱性，與正態(tài)曲線相近，故當月搜索指數的平均值約為29000

C.從網民對該關鍵詞的搜索指數來看，2019年10月的方差小于11月的方差

D.從網民對該關鍵詞的搜索指數來看，2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產企業(yè)加班加點生產口罩、防護服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應，在國際社會上贏得一片贊譽．我國某口罩生產廠商在加大生產的同時．狠抓質量管理，不定時抽查口罩質量，該廠質檢人員從某日所生產的口罩中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下五組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖．

（1）規(guī)定：口罩的質量指標值越高，說明該口罩質量越好，其中質量指標值低于130的為二級口罩，質量指標值不低于130的為一級口罩．現從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機抽取8個口罩，再從中抽取3個，記其中一級口罩個數為，求的分布列及數學期望；

（2）在2020年“五一”勞動節(jié)前，甲，乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網絡購物平臺上分別參加、兩店各一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單由個該型號口罩構成．假定甲、乙兩人在、兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數量、口罩總數量分別為，，

①求的分布列及數學期望；

②求當的數學期望取最大值時正整數的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點，且離心率。

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】己知點A是拋物線的對稱軸與準線的交點，點B為拋物線的焦點，P在拋物線上且滿足，當取最大值時，點P恰好在以A、B為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】正方體中，是棱的中點，是側面上的動點，且平面，記與的軌跡構成的平面為．

①，使得；

②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是；

③與平面所成銳二面角的正切值為；

④正方體的各個側面中，與所成的銳二面角相等的側面共四個．

其中正確命題的序號是________．（寫出所有正確命題的序號）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】近幾年，電商行業(yè)的蓬勃發(fā)展帶動了快遞業(yè)的迅速增長，快遞公司攬收價格一般是采用“首重+續(xù)重”的計價方式.首重是指最低的計費重量，續(xù)重是指超過首重部分的計費重量，不滿一公斤按一公斤計費.某快遞網點將快件的攬收價格定為首重（不超過一公斤）8元，續(xù)重2元/公斤（例如，若一個快件的重量是0.6公斤，按8元計費；若一個快件的重量是1.4公斤，按元元元計費）.根據歷史數據，得到該網點攬收快件重量的頻率分布直方圖如下圖所示

（1）根據樣本估計總體的思想，將頻率視作概率，求該網點攬收快件的平均價格；

（2）為了獲得更大的利潤，該網點對“一天中收發(fā)一件快遞的平均成本（單位：元）與當天攬收的快遞件數（單位：百件）之間的關系”進行調查研究，得到相關數據如下表：

每天攬收快遞件數（百件）

2

3

4

5

8

每件快遞的平均成本（元）

5.6

4.8

4.4

4.3

4.1

根據以上數據，技術人員分別根據甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程：

方程甲：，方程乙：.

①為了評價兩種模型的擬合效果，根據上表數據和相應回歸方程，將以下表格填寫完整（結果保留一位小數），分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和，，并依此判斷哪個模型的擬合效果更好（備注：稱為相應于點的殘差，殘差平方和；

每天攬收快遞件數/百件

2

3

4

5

8

每天快遞的平均成本/元

5.6

4.8

4.4

4.3

4.1

模型甲

預報值

5.2

5.0

4.8

殘差

0.2

0.4

模型乙

預報值

5.5

4.8

4.5

預報值

0

0.1

②預計該網點今年6月25日（端午節(jié)）一天可以攬收1000件快遞，試根據①中確定的擬合效果較好的回歸模型估計該網點當天的總利潤（總利潤=（平均價格-平均成本）×總件數）.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，動直線交拋物線于A，B兩點.

（1）若，證明直線過定點，并求出該定點；

（2）點M為的中點，過點M作與y軸垂直的直線交拋物線于C點；點N為的中點，過點N作與y軸垂直的直線交拋物線于點P.設△的面積，△的面積為.

（i）若過定點，求使取最小值時，直線的方程；

（ii）求的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案