Question

在如圖所示的幾何體中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，AA₁

∥ .

.

DD₁

∥ .

.

CC₁∥BE，且AA₁=AB，D₁E⊥平面D₁AC，AA₁⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求二面角D₁-AC-E的大��；
（Ⅱ）在D₁E上是否存在一點(diǎn)B，使得A₁P∥平面EAC，若存在，求

D1P

PE

的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)AC交BD于O，建立坐標(biāo)系，求得E的坐標(biāo)，求得平面EAC、平面FAC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角D₁-AC-E的大��；
（Ⅱ）利用A₁P∥平面EAC，可得

A1P

⊥平面EAC的法向量，從而可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)AC交BD于O，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2，則A（

3

，0，0），B（0，-1，0），C（-

3

，0，0），D（0，1，0），D₁（0，1，2）
設(shè)E（0，-1，t），則

ED1

=（0，2，2-t），

CA

=（2

3

，0，0），

D1A

=（

3

，-1，-2）．
∵D₁E⊥平面D₁AC，∴

ED1

•

D1A

=0，
∴-2-2（2-t）=0，∴t=3，∴E（0，-1，3），
∴

AE

=(-

3

，-1，3)，設(shè)平面EAC的法向量為

m

=(x，y，z)，則

x=0 - 3 x-y+3z=0

令z=1，可得

m

=（0，3，1），
∵平面FAC的法向量為

ED1

=（0，2，-1），
∴cos＜

m

，

ED1

＞=

2

2

∴二面角D₁-AC-E的平面角為45°；
（Ⅱ）設(shè)

D1P

=λ

PE

=（0，-

2λ

1+λ

，

λ

1+λ

）
∴

A1P

=

A1D1

+

D1P

=（-

3

，1-

2λ

1+λ

，

λ

1+λ

）
∵A₁P∥平面EAC，∴

A1P

⊥

m

∴-

3

×0+3×

1-λ

1+λ

+1×

λ

1+λ

=0
∴λ=

3

2

∴存在一點(diǎn)P，使得A₁P∥平面EAC，此時(shí)

D1P

PE

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面角，考查線面平行，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．