Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，右焦點(diǎn)為（2

2

，0），斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓離心率為

6

3

，右焦點(diǎn)為（2

2

，0），可知c=2

2

，可求出a的值，再根據(jù)b²=a²-c²求出b的值，即可求出橢圓G的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程和點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，消去y，根據(jù)等腰△PAB，求出直線l方程和點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，從而求出|AB|和點(diǎn)到直線的距離，求出三角形的高，進(jìn)一步可求出△PAB的面積．

解答：解：（Ⅰ）由已知得，c=2

2

，

c

a

=

6

3

，
解得a=2

3

，又b²=a²-c²=4，
所以橢圓G的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m，
由

y=x+m x2 12 + y2 4 =1

得4x²+6mx+3m²-12=0．①
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中點(diǎn)為E（x₀，y₀），
則x₀=

x1+x2

2

=-

3m

4

，
y₀=x₀+m=

m

4

，
因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=

2- m 4

-3+ 3m 4

=-1，
解得m=2．
此時(shí)方程①為4x²+12x=0．
解得x₁=-3，x₂=0，
所以y₁=-1，y₂=2，
所以|AB|=3

2

，此時(shí)，點(diǎn)P（-3，2）．
到直線AB：y=x+2距離d=

|-3-2+2|

2

=

3 2

2

，
所以△PAB的面積s=

1

2

|AB|d=

9

2

．

點(diǎn)評：此題是個(gè)中檔題．考查待定系數(shù)法求橢圓的方程和橢圓簡單的幾何性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)也考查了學(xué)生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．