Question

已知命題p：“方程是焦點在y軸上的橢圓”，命題q：“關于x的方程ax²+2x+1=0至少有一個負實根”．若“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：若命題p為真命題?．…3分
關于x的方程ax²+2x+1=0至少有一個負實根
?關于x的方程ax²+2x+1=0有兩個負實根或一正一負兩根或只有一根且為負數(shù)．…5分
①方程有兩個負實根?0＜a≤1； …7分
②方程有一正一負兩根?a＜0； …9分
③方程只有一個根且為負數(shù)?a=0．…10分
故命題q為真命題?a≤1．…11分
因為“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，
所以命題p與q恰有一個為真命題．…12分
若p真q假，則a＞1；若p假q真，則．…13分
故實數(shù)a的取值范圍是．…14分
分析：根據(jù)橢圓方程的特點求出命題p為真命題的a的范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象求出命題q為真命題的a的范圍，根據(jù)復合命題與構(gòu)成其簡單命題真假的關系，通過分類討論求出a的范圍．
點評：本題考查復合命題的真假與構(gòu)成其簡單命題真假的關系；考查結(jié)合二次函數(shù)的圖象解決二次方程的實根分布問題，屬于中檔題．