Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸為正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C和直線l的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2cosθ，$\sqrt{5}$ρcos（θ+α）=2（其中tanα=2，α∈（0，$\frac{π}{2}$））．
（Ⅰ）求圓C和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C和直線l相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求以AB為直徑的圓D的參數(shù)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)該方程．
（Ⅱ）首先建立方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用直徑所對(duì)的圓周角為90°，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成向量垂直，再利用向量垂直的充要條件求出方程，再轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程．

解答 解：（Ⅰ）圓C的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2cosθ，
轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：（x-1）²+y²=1，
由于：tanα=2，α∈（0，$\frac{π}{2}$）．
則：$cosα=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$sinα=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
極坐標(biāo)方程$\sqrt{5}$ρcos（θ+α）=2轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x-2y-2=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）}^{2}+{y}^{2}=1\\ x-2y-2=0\end{array}\right.$
解得：A（2，0），B（$\frac{2}{5}$，$-\frac{4}{5}$），
則：$\overrightarrow{AM}=（x-2，y）$，$\overrightarrow{BM}=（x-\frac{2}{5}，y+\frac{4}{5}）$
設(shè)點(diǎn)M（x，y）是圓D上的任意一點(diǎn)，則：$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=0$．
所以：$（x-2）（x-\frac{2}{5}）$+$y（y+\frac{4}{5}）=0$．
整理得：5x²+5y²-12x+4y=0．
轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式為：$（x-\frac{6}{5}）^{2}+（y+\frac{2}{5}）^{2}=\frac{4}{5}$
轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{6}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}cosθ\\ y=-\frac{2}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的互化，向量垂直的充要條件及相關(guān)的運(yùn)算．