Question

5．如圖，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P是邊BD上任一點(diǎn)（包括點(diǎn)B、D），則|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}$|的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}$|寫成$\sqrt{（x-\frac{32}{5}）^{2}+64-（\frac{32}{5}）^{2}}$，其中x=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{BP}}\end{array}|$且x∈[0，5]，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意，可得|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{{|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}}\end{array}|}^{2}}$
=$\sqrt{（2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}）^{2}}$
=$\sqrt{4{\overrightarrow{AB}}^{2}+4\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BP}+{\overrightarrow{BP}}^{2}}$
又矩形ABCD中，AB=4，AD=3，
設(shè)$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{BP}}\end{array}|$=x，則x∈[0，5]，
從而上式為$\sqrt{{x}^{2}-\frac{64}{5}x+64}$
=$\sqrt{（x-\frac{32}{5}）^{2}+64-（\frac{32}{5}）^{2}}$，
顯然當(dāng)x=5時，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}$|取最小值為$\sqrt{（5-\frac{32}{5}）^{2}+64-（\frac{32}{5}）^{2}}$=5，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查平面向量模的最小值，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題是關(guān)鍵，屬中檔題．