Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F作直線l與拋物線交于A，B兩點，拋物線的準線與x軸交于點C．
（1）證明：∠ACF=∠BCF；
（2）求∠ACB的最大值，并求∠ACB取得最大值時線段AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知，F(xiàn)（，0），C（-，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程為x=my+，代入拋物線方程y²=2px求得y²-2pmy-p²=0，由韋達定理可求得y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，
從而可求得tan∠ACF=tan∠BCF；
（2）設y₁＞0，利用基本不等式可求得tan∠ACF=≤=1，當且僅當y₁=p時取等號，從而可得∠ACF取最大值，繼而可求∠ACB取得最大值時線段AB的長．
解答：證明：（Ⅰ）由題設知，F(xiàn)（，0），C（-，0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程為x=my+，
代入拋物線方程y²=2px，得y²-2pmy-p²=0．
y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²．…（4分）
不妨設y₁＞0，y₂＜0，則
tan∠ACF=====，
同理可得tan∠BCF==，
∴tan∠ACF=tan∠BCF，
∴∠ACF=∠BCF．…（8分）
（Ⅱ）如（Ⅰ）所設y₁＞0，tan∠ACF=≤=1，當且僅當y₁=p時取等號，
此時∠ACF取最大值，
∴∠ACB=2∠ACF取最大值，
并且A（，p），B（，-p），|AB|=2p．…（12分）
點評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關系，著重考查韋達定理與拋物線性質(zhì)的綜合應用，考查基本不等式，屬于難題．