Question

（本題14分）如圖,一水渠的橫斷面是拋物線形，O是拋物線的頂點(diǎn),口寬EF=4米，高3米，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，（1）求拋物線方程.（2）若將水渠橫斷面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不變，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大時(shí)，所挖的土最少？

 

Answer 1

【答案】

（1）；(2)梯形ABCD的下底AB=米時(shí)，所挖的土最少.

【解析】

試題分析：（1）解：如圖 以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為X軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則F（2，3），設(shè)拋物線的方程是

因?yàn)辄c(diǎn)F在拋物線上，所以

所以拋物線的方程是

 ……………………4分

(2) 解：等腰梯形ABCD中,AB∥CD，線段AB的中點(diǎn)O是拋物線的頂點(diǎn)，AD，AB，BC分別與拋物線切于點(diǎn)M，O，N

，設(shè)，，則拋物線在N處的切線方程是……………………8分

，所以，……………………10分

梯形ABCD的面積是

…………………12分

答：梯形ABCD的下底AB=米時(shí)，所挖的土最少. ……………………14分

考點(diǎn)：本題主要考查拋物線在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，均值定理的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：綜合題，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求得拋物線方程，從而通過(guò)研究直線與拋物線的位置關(guān)系，求切線方程，確定得到截面面積表達(dá)式，運(yùn)用均值定理求得最值。