Question

【題目】在中，，，沿中位線DE折起后，點A對應(yīng)的位置為點P，.

（1）求證：平面平面DBCE；

（2）求證：平面平面PCE；

（3）求直線BP與平面PCE所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由直角及中位線可得,,即可證得平面PBD,進(jìn)而求證；

（2）以D為原點,過D作平面DBCE,DB,DE,DH所在的直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面和平面PCE的法向量,由法向量垂直即可證明兩平面垂直；

（3）由（2）可得與平面PCE的法向量,利用向量的數(shù)量積求解即可.

（1）證明:,,

,,

,,

又平面PBD,平面PBD,,

平面PBD,

平面DBCE,

平面平面DBCE.

（2）證明:以D為原點,過D作平面DBCE,DB,DE,DH所在的直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,

設(shè),則,

所以,,,,

所以,,,

設(shè)平面BPC的法向量,則,即,

令,則,所以,

同理,設(shè)平面PCE的法向量,則,即,令,則,所以,

因為,所以,

所以平面平面PCE.

（3）由（2）知,,平面PCE的法向量為,

所以,

所以直線BP與平面PCE所成角的正弦值為.