【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）令，由，可得，利用分析法和放縮法的思想，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值證得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有即可.

（1）依題意，，，

令，即，解得，

故當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為，

（2）令，

由題意得，當(dāng)時(shí)，，則有，

下面證當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，

由于時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，，

故只需證明對(duì)任意，都有，

令，則，

所以在上恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，即，

所以，則，

令，，則.

當(dāng)時(shí)，，，

所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，

所以對(duì)任意，都有.

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：（i）；

（ii）對(duì)任意，對(duì)恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】工廠質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上每半個(gè)小時(shí)抽取一件產(chǎn)品并對(duì)其某個(gè)質(zhì)量指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，一共抽取了件產(chǎn)品，并得到如下統(tǒng)計(jì)表．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在一年內(nèi)所需的維護(hù)次數(shù)與指標(biāo)有關(guān)，具體見(jiàn)下表.

質(zhì)量指標(biāo)

頻數(shù)

一年內(nèi)所需維護(hù)次數(shù)

（1）以每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為每組指標(biāo)的代表，用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該廠產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的平均值（保留兩位小數(shù)）；

（2）用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取件產(chǎn)品，再?gòu)?/span>件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，求這件產(chǎn)品的指標(biāo)都在內(nèi)的概率；

（3）已知該廠產(chǎn)品的維護(hù)費(fèi)用為元/次，工廠現(xiàn)推出一項(xiàng)服務(wù)：若消費(fèi)者在購(gòu)買該廠產(chǎn)品時(shí)每件多加元，該產(chǎn)品即可一年內(nèi)免費(fèi)維護(hù)一次.將每件產(chǎn)品的購(gòu)買支出和一年的維護(hù)支出之和稱為消費(fèi)費(fèi)用.假設(shè)這件產(chǎn)品每件都購(gòu)買該服務(wù)，或者每件都不購(gòu)買該服務(wù)，就這兩種情況分別計(jì)算每件產(chǎn)品的平均消費(fèi)費(fèi)用，并以此為決策依據(jù)，判斷消費(fèi)者在購(gòu)買每件產(chǎn)品時(shí)是否值得購(gòu)買這項(xiàng)維護(hù)服務(wù)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對(duì)機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開(kāi)始呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛伏期. 一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：

潛伏期（單位:天）

人數(shù)

（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過(guò)6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表. 請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；

潛伏期天

潛伏期天

總計(jì)

50歲以上（含50歲）

50歲以下

55

總計(jì)

200

（3）以這1000名患者的潛伏期超過(guò)6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過(guò)6天發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過(guò)6天相互獨(dú)立. 為了深入研究，該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了名患者，其中潛伏期超過(guò)6天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？

附：

，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線，且直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與另一條漸近線交于點(diǎn)，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為，則雙曲線的離心率為（ ）

A.B.C.D.或2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知，是否存在k使得點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B（不同于點(diǎn)A）在橢圓C上？若存在求出此時(shí)直線l的方程，若不存在說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）

A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在中，，.已知分別是的中點(diǎn).將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：

（1）證明：平面平面

（2）求平面與平面所成二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在中，，，沿中位線DE折起后，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的位置為點(diǎn)P，.

（1）求證：平面平面DBCE；

（2）求證：平面平面PCE；

（3）求直線BP與平面PCE所成角的正弦值.

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