【題目】已知函數(shù) .
(1)求f(x)的極值;
(2)當(dāng)0<x<e時,求證:f(e+x)>f(e﹣x);
(3)設(shè)函數(shù)f(x)圖象與直線y=m的兩交點(diǎn)分別為A(x1 , f(x1)、B(x2 , f(x2)),中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0 , 證明:f'(x0)<0.
【答案】
(1)解:f′(x)= ,f(x)的定義域是(0,+∞),
x∈(0,e)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
x∈(e,+∞)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
當(dāng)x=e時,f(x)取極大值為 ,無極小值
(2)解:要證f(e+x)>f(e﹣x),即證: ,
只需證明:(e﹣x)ln(e+x)>(e+x)ln(e﹣x).
設(shè)F(x)=(e﹣x)ln(e+x)﹣(e+x)ln(e﹣x),
,
∴F(x)>F(0)=0,
故(e﹣x)ln(e+x)>(e+x)ln(e﹣x),
即f(e+x)>f(e﹣x)
(3)解:證明:不妨設(shè)x1<x2,由(1)知0<x1<e<x2,∴0<e﹣x1<e,
由(2)得f[e+(e﹣x1)]>f[e﹣(e﹣x1)]=f(x1)=f(x2),
又2e﹣x1>e,x2>e,且f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減,
∴2e﹣x1<x2,即x1+x2>2e,
∴ ,∴f'(x0)<0
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的極值即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為證明(e﹣x)ln(e+x)>(e+x)ln(e﹣x),設(shè)F(x)=(e﹣x)ln(e+x)﹣(e+x)ln(e﹣x),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)(單位:萬元)對年銷售量(單位:噸)的影響,對近六年的年宣傳費(fèi)和年銷售量()的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):
年份() | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年宣傳費(fèi)(萬元) | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 |
年銷售量(噸) | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 |
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與,哪一個更適合作為年銷售量(噸)與關(guān)于宣傳費(fèi)(萬元)的回歸方程類型;
(2)規(guī)定當(dāng)產(chǎn)品的年銷售量(噸)與年宣傳費(fèi)(萬元)的比值大于1時,認(rèn)為該年效益良好,現(xiàn)從這6年中任選3年,記其中選到效益良好的數(shù)量為,試求的所有取值情況及對應(yīng)的概率;
(3)根據(jù)頻率分布直方圖中求出樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的思想方法,求的平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量,,角,,為的內(nèi)角,其所對的邊分別為,,.
(1)當(dāng)取得最大值時,求角的大小;
(2)在(1)成立的條件下,當(dāng)時,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線與圓 且與橢圓相交于兩點(diǎn).
(1)若直線恰好經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn),求弦長
(2)設(shè)直線的斜率分別為,判斷是否為定值,并說明理由
(3)求,面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項和為,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),=,記數(shù)列的前項和.若對, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).
(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程;
(2)若曲線C2的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),曲線C1上點(diǎn)P的極角為 ,Q為曲線C2上的動點(diǎn),求PQ的中點(diǎn)M到直線l距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸正半軸上,過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),線段的長是, 的中點(diǎn)到軸的距離是.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn),直線交拋物線于,
①求證: 軸為的角平分線;
②若交拋物線于,且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P—ABCD中,ABCD為矩形,△PAD為等腰直角三角形,
∠APD=90°,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分別為PC和BD的中點(diǎn).
(1)證明:EF∥面PAD;
(2)證明:面PDC⊥面PAD;
(3)求四棱錐P—ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(3, ),點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(6, ),曲線C:(x﹣1)2+y2=1
(1)求曲線C和直線AB的極坐標(biāo)方程;
(2)過點(diǎn)O的射線l交曲線C于M點(diǎn),交直線AB于N點(diǎn),若|OM||ON|=2,求射線l所在直線的直角坐標(biāo)方程.
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